Vektor– und Matrizenrechnung fur Dummies

Was Sie wissen müssen von Abbildungsmatrix bisZylinderkoordinaten

Ganz egal, was Sie machen wollen, in der Mathematik führt abeinem gewissen Niveau kein Weg an der Vektorund Matrizenrechnungvorbei. Karsten Kirchgessner und Marco Schreck führen Sie indieses Thema ein. Sie erklären Ihnen, was Vektoren undMatrizen überhaupt sind und wie Sie möglichstunkompliziert mit ihnen rechnen. Außerdem erfahren Sie, wasSie über Eigenwerte und Eigenvektoren wissen sollten, wie Sielineare Gleichungssysteme lösen und vieles mehr. So lernen Siepfeilschnell, in diese Tiefen der Mathematik einzudringen.Besonderer Wert wird hierbei auf geschickte Ansätze und Tricksgelegt, die den Rechenaufwand und Komplexitätsgrad einerAufgabenstellung reduzieren, sodass Sie insbesondere inPrüfungen so schnell wie möglich zur korrektenLösung gelangen.

Einleitung 19

Konventionen in diesem Buch 19

Törichte Annahmen über den Leser 20

Was Sie in diesem Buch finden 20

Was Sie in diesem Buch nicht finden 20

Wie dieses Buch aufgebaut ist 20

Teil I: Einführung 21

Teil II: Vektorrechnung 21

Teil III: Matrizen 21

Teil IV: Lineare Gleichungssysteme 21

Teil V: Der Top–Ten–Teil 22

Spickzettel 22

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 22

Wie es weitergeht 22

Teil I
Einführung 23

Kapitel 1
Motivation 25

Gestatten: Die Familie der Vektoren, Matrizen und linearen

Gleichungssysteme 25

Vektoren in Theorie und Praxis 26

Matrizen in Schule, Studium und Beruf 27

Wie Matrizen behandelt werden wollen und wie sie einembehilflich sind 28

Kapitel 2
Vektorrechnung 31

Was war zuerst da: der Vektor oder der Pfeil? 31

Voll konkret: explizite Schreibweise und Komponenten einesVektors 33

Der Betrag eines Vektors 36

Beispiele 37

Einheitsvektoren Voll normal! 38

Rechnen mit Vektoren 40

Addition und Subtraktion von Vektoren 40

Multiplikation von Vektoren mit Zahlen 45

Linearkombination von Vektoren als »Pfeile« 47

Differenzvektoren 48

Vektoren in der analytischen Geometrie 49

Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks 49

Zum Halten von Lasten 51

Kapitel 3
Matrizen 55

Definition und Form von Matrizen 55

Rechnen mit Matrizen mehr als nur ein Haufen Zahlen!57

Addition und Subtraktion von Matrizen 57

Multiplikation von Matrizen 58

Invertieren von Matrizen 60

So sieht sich eine Matrix im Spiegel 60

Der Stammbaum der Matrizen 63

Reelle und komplexe Matrizen 63

Quadratische und nicht–quadratische Matrizen 64

Reguläre und singuläre Matrizen 64

Symmetrische und hermitesche Matrizen 64

Orthogonale und unitäre Matrizen 66

Dreiecksmatrizen 67

Noch speziellere Matrizen 68

Matrizen bei der Arbeit 68

Determinante und Umkehrbarkeit von Transformationen 71

Eigenwerte, Eigenvektoren und das Diagonalisieren von Matrizen71

Kapitel 4
Lösen von linearen Gleichungssystemen 73

Matrixschreibweise für lineare Gleichungssysteme 73

Links– und Rechtsmultiplikation sind zweierlei! 77

Umformen der Koeffizientenmatrix eines linearenGleichungssystems 81

Teil II
Vektorrechnung 83

Kapitel 5
Vektor mal Vektor = ??? 85

Skalarprodukt: Vektor mal Vektor gleich Zahl 85

Definition und Schreibweisen 85

Wissenswertes zum Skalarprodukt: kurz und knapp 86

Geometrische Bedeutung endlich wird es anschaulich!88

Wie berechnet man das Skalarprodukt konkret? 91

Kreuzprodukt: Vektor mal Vektor gleich Vektor 94

Definition und Schreibweise 94

Nützliches zum Vektorprodukt: wieder kurz und knapp 94

Geometrische Bedeutung endlich wird s wiederanschaulich! 95

Wie rechnet man das Kreuzprodukt konkret aus? 96

Das Spatprodukt und was ist bitte ein Parallelepiped?100

Dyadisches Produkt: Vektor mal Vektor gleich Matrix 102

Definition und Schreibweise 102

Dyadisches Produkt zweidimensionaler orthogonalerEinheitsvektoren 102

Dyadisches Produkt von orthogonalen Einheitsvektoren

in drei Dimensionen 103

Kapitel 6
Die Welt der Mathematik besteht aus Vektoren 105

Unser Koordinatensystem ist das Gerüst der Vektor–Welt105

Kartesische Koordinatensysteme hier steht allessenkrecht! 105

Beispiele für kartesische Koordinatensysteme 106

Polarkoordinaten krumme Linien in der Ebene?! 109

Zylinderkoordinaten Hut ab für die dritteDimension! 115

Kugelkoordinaten eine runde Sache 118

Basis und Basistransformationen: Wir wechseln den Blickwinkel!122

Unter der Lupe: Was versteht man unter einer Basis? 122

Beispiele für Basen 124

Basistransformationen aus Alt mach Neu 125

Jetzt geht s rund wir drehen die Basis! 127

Kapitel 7
Analytische Geometrie mehr als nur ein paarBauklötze! 135

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren135

Der Vektorzug fährt ein 135

Parallele und antiparallele Vektoren 136

Anwendungsaufgabe zur linearen Abhängigkeit von Vektoren137

Darstellung von Geraden und Ebenen 139

Parameterdarstellung: Jetzt kommen die Vektoren zum Zug! 139

Normalenform: Der senkrechte Vektor zeigt, wo es lang geht!142

Zusammenfassung 144

Der Klassiker: Schnitte und Abstände von Geraden und Ebenen144

Schnitte von Geraden mit Ebenen 144

Abstand zwischen Ebene und einer parallelen Gerade 146

Schnitt zweier Ebenen in Parameterdarstellung 147

Schnitt einer Ebene in Parameterdarstellung und einer Ebene inNormalenform 148

Bestimmung des Abstands zweier paralleler Ebenen 149

Parallele und windschiefe Geraden 151

Wir verlassen das Flachland und bauen Körper aus Ebenen155

Eine Pralinenschachtel in der Vektorrechnung 155

Analytische Geometrie für Fortgeschrittene Teil 1:

Wir bauen uns einen Tetraeder 157

Analytische Geometrie für Fortgeschrittene Teil 2:

Wie viel Farbe benötigt man, um einen Dodekaeder anzumalen?160

Die Sache kommt ins Rollen: Kugeln in der Vektorrechnung 166

Die Kugelgleichung 166

Tangentialebenen 167

Schnitt von Kugeln mit Ebenen 168

Kapitel 8
Funktionenräume 171

Können Funktionen Vektoren sein? 171

Ein Skalarprodukt für Funktionen 173

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Funktionen174

Funktionen machen es den Vektoren im Anschauungsraum nach174

Der Funktionenraum der Polynome 175

Monome als Bausteine von Polynomen 175

Orthogonale Funktionen was bedeutet das? 175

Trigonometrische Funktionen 177

Auf der Suche nach einer Basis 177

Ran ans Werk: Das Skalarprodukt trigonometrischer Funktionen178

Die Fourierreihe wir bringen Funktionen zum Schwingen179

So macht man aus unstetigen Funktionen stetige 180

Teil III
Matrizen 183

Kapitel 9
Rechenregeln 185

Assoziativgesetz, Distributivgesetz und Kommutativgesetzfür die Addition 185

Addition, Subtraktion und Multiplikation in Aktion 187

Division durch Bildung der Inversen 189

Lineare Abbildungen, Kern und Bild 190

Basistransformationen von Vektoren mittels Matrizen 190

Einführung in lineare Abbildungen und deren Basiswechsel191

Kapitel 10
Determinanten 199

Verfahren nach Leibniz 199

Permutationen da haben wir den (Zahlen)salat! 199

Die Determinantenformel 202

Schachbrettregel und Unterdeterminanten 205

Entwicklung nach Zeilen oder Spalten 207

Spezialfall: (2 x 2)–Matrizen 211

Spezialfall: (3 x 3)–Matrizen und Sarrussche Regel 211

Rechenregeln für Determinanten 213

Anwendung: Berechnung des Kreuzprodukts mit der Determinante214

Kapitel 11
Invertieren von Matrizen 217

Regularität und Singularität als Indiz fürInvertierbarkeit 217

Berechnung der Inversen mittels des Gauß–Algorithmus219

Bildung der Inversen mittels der Adjunkten 222

Spezialfall: (2 x 2)– und (3 x 3)–Matrizen 226

Kapitel 12
Eigenwerte und Eigenvektoren, Diagonalisieren von Matrizen229

Berechnung von Eigenwerten, algebraische Vielfachheit 229

Berechnung der Eigenvektoren, geometrische Vielfachheit 235

Diagonalisieren von Matrizen 241

Algebraische Vielfachheit = Geometrische Vielfachheit 241

Mehrfaches Auftreten von Eigenwerten 243

Algebraische Vielfachheit ?nGeometrische Vielfachheit244

Besonderheiten von symmetrischen und hermiteschen Matrizen245

Was sich nicht ändert beim Diagonalisieren 248

Anwendung: Noch einmal Drehungen 250

Anwendung: Quadriken 252

Die Hauptachsen einer Quadrik 255

Anwendung des Verfahrens nach Gram und Schmidt 257

Ein paar Tipps zum Abschluss des Kapitels! 257

Für Fortgeschrittene: Jordansche Normalform 258

Bestimmung der Jordan–Normalform und der Transformationsmatrix259

Kapitel 13
Besonders einfache Matrizen 263

Dreiecksmatrizen 263

Diagonalmatrizen 263

Blockdiagonale Matrizen 264

Teil IV
Lösen von linearen Gleichungssystemen 271

Kapitel 14
Gauß–Algorithmus in Matrixschreibweise: Vertiefung273

Erweiterte Koeffizientenmatrix und Zeilenstufenform 273

Rang von Matrizen 274

Systeme mit einer eindeutigen Lösung 276

Systeme ohne Lösung 278

Systeme mit unendlich vielen Lösungen 279

Kapitel 15
Lösen von linearen Gleichungssystemen mit Hilfe vonParametern 283

Einführung von Parametern und Bilden der Lösung283

Minus–Eins–Ergänzungstrick: Erzeugung der Zeilennormalformund Ablesen der Lösung 284

Kapitel 16
Homogene und partikuläre Lösung 287

Bildung der homogenen Lösung 287

Bildung der partikulären Lösung 289

Zusammensetzen beider Lösungen 289

Kapitel 17
Lösungsweg unter Verwendung der Determinante 291

Aufstellen der zu berechnenden Determinanten und CramerscheRegel 291

Resultate aus der Cramerschen Regel 293

Anwendung: Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems inAbhängigkeit zweier Parameter 293

Anwendung: Die Wronski–Determinante 295

Die Wronski–Determinante in Aktion 296

Lineare Unabhängigkeit im Fall der Monome 297

Lineare Unabhängigkeit im Fall der Sinus– undKosinusfunktionen 298

Teil V
Der Top–Ten–Teil 299

Kapitel 18
Zehn häufige Anfängerfehler 301

Dividieren durch Vektoren Nein! 301

Matrizen vertauschen nicht! 301

Ein Vektor hängt von den Komponenten und der Basis ab!301

Verwirrung beim komplexen Skalarprodukt 301

Leichtsinnsfehler 302

Vektoren in anderen Koordinatensystemen 302

Einheitskreis wie bitte? 302

Wurzelziehen aus Quadraten 302

Vorsicht mit der imaginären Einheit 302

Falsche Regeln bei der Berechnung von Determinanten 303

Kapitel 19
Zehn Tipps für erfolgreiche Prüfungen 305

Üben, üben, üben! 305

Nachdenken ist die halbe Miete! 305

Ergebnisse kritisch begutachten 305

Üben Sie auch möglichst an verschiedenenAufgabentypen! 306

Gleichungen müssen stimmig sein! 306

Effizienz von Algorithmen 306

Aussehen von Geraden und Ebenen 306

Denken Sie sich selber Aufgaben aus! 306

Nehmen Sie nicht alles bierernst! 306

Denken Sie an die am häufigsten vorkommenden Fragen!307

Stichwortverzeichnis 309

Karsten Kirchgessner arbeitet seit über vier Jahren alsTutor für höhere Mathematik am Karlsruher Institutfür Technologie (KIT).

Marco Schreck promovierte am KIT und blickt auf einelangjährige Lehrerfahrung in der theoretischen Physikzurück.