Quantenphysik für Dummies

Von den Grundlagen bis zur Streutheorie das Wichtigstezur Quantenmechanik

Die Quantenphysik ist ein zentrales und spannendes, wenn auch vonvielen Schülern und Studenten ungeliebtes Thema der Physik.Aber keine Sorge! Steven Holzner erklärt Ihnenverständlich und lebendig, was Sie über Quantenphysikwissen müssen. Er erläutert die Grundlagen von Drehimpulsund Spin, gibt Ihnen Tipps, wie Sie komplexe Gleichungen lösenund nimmt den klassischen Problemen der Quantenphysik denSchrecken. Dabei arbeitet er mit Beispielen, die erausführlich erklärt und gibt Ihnen so zusätzlicheSicherheit auf einem vor Unschärfen wimmelnden Feld.

Einleitung 19

Über dieses Buch 19

Festlegungen in diesem Buch 20

Einige törichte Annahmen 20

Aufbau dieses Buches 20

Teil A: Ist die Welt nicht klein? Die Grundlagen 20

Teil B: Gebunden, aber unbestimmt: Teilchen in gebundenenZuständen 21

Teil C: Schwindlig werden mit Drehimpuls und Spin 21

Teil D: Die Quantenphysik wird dreidimensional 21

Teil E: Gruppendynamik mit vielen Teilchen 21

Teil F: Der Top–Ten–Teil 21

Symbole in diesem Buch 21

Nun kann es losgehen! 22

Teil I
Ist die Welt nicht klein? Die Grundlagen 23

Kapitel 1
Entdeckungen und wesentliche Grundlagen der Quantenphysik25

Diskret werden: Der Ärger mit der Strahlung schwarzerKörper 25

Der erste Versuch: Das Wien sche Gesetz 27

Der zweite Versuch: Das Rayleigh–Jeans–Gesetz 27

Ein intuitiver (Quanten–)Sprung: Das Planck sche Spektrum28

Stück für Stück: Licht als Teilchen 29

Die Erklärung des photoelektrischen Effektes 29

Streuung von Licht an Elektronen: Der Compton–Effekt 31

Das Positron als Beweis? Dirac und die Paarerzeugung 32

Eine doppelte Identität: Die Wellennatur von Teilchen33

Man kann nicht alles wissen (aber dieWahrscheinlichkeitenberechnen) 34

Die Heisenberg sche Unschärferelation 35

Die Würfel rollen: Quantenphysik und Wahrscheinlichkeiten35

Kapitel 2
Nicht immer einfach: Die Quantenphysik 37

Was ist Quantenphysik? 37

Die Schrödinger–Gleichung und die Wellenfunktion 38

Zustände und Wahrscheinlichkeiten in der Quantenphysik40

Die Darstellungsweise 42

Quantenphysik für Dummies

Die Lösung quantenmechanischer Probleme 42

Welche Größe kann man bestimmen? 43

Wie geht man bei der Lösung eines quantenmechanischenProblems vor? 45

Die Quantenmechanik und die folgenden Kapitel 47

Teil I: Ist die Welt nicht klein? Die Grundlagen 47

Teil II: Gebunden, aber unbestimmt: Teilchen in gebundenenZuständen 48

Teil III: Alles dreht sich um Drehimpulse und Spin 49

Teil IV: Die Quantenphysik wird dreidimensional 50

Teil V: Komplexe Systeme 53

Kapitel 3
In die Matrix überführen: Was sind Zustandsvektoren?55

Vektoren im Hilbert–Raum erstellen 56

Mit der Dirac–Schreibweise das Leben vereinfachen 58

Verkürzte Schreibweise durch Ket–Vektoren 58

Den hermitesch Konjugierten als Bra–Vektor schreiben 60

Bras und Kets miteinander multiplizieren: EineWahrscheinlichkeit von 1 60

Nicht an eine Basis gebundene Zustandsvektoren: Bras und Kets61

Rechenregeln in der Ket–Schreibweise 62

Sie bringen die Physik in s Spiel: Operatoren 63

Arbeiten mit Operatoren 63

In großer Erwartung: Erwartungswerte bestimmen 64

Lineare Operatoren 66

Hermitesche Operatoren und ihre Adjungierten 66

Vorwärts und Rückwärts: Kommutatoren bestimmen67

Kommutieren der Operatoren 67

Anti–hermitesche Operatoren 68

Bei Null starten und bei Heisenberg enden 69

Eigenvektoren und Eigenwerte: Natürlich sind sieeigenartig! 72

Verstehen, wie sie funktionieren 74

Eigenvektoren und Eigenwerte bestimmen 76

Auf das Gegenteil vorbereitet sein: Vereinfachung durchunitäre Operatoren 78

Vergleich zwischen Matrix– und kontinuierlicher Darstellung79

Mit der Differentialrechnung zu einer kontinuierlichen Basis80

Jetzt kommen die Wellen 80

Inhaltsverzeichnis

Teil II
Gebunden, aber unbestimmt: Teilchen in gebundenen Zuständen83

Kapitel 4
Gefangen in Potentialtöpfen 85

In einen Potentialtopf schauen 85

Teilchen in Potentialtöpfen einschließen 87

Gebundene Teilchen in Potentialtöpfen 87

Aus Potentialtöpfen entkommen 88

Gebundene Teilchen in unendlichen rechteckigenPotentialtöpfen 89

Berechnung der Wellenfunktionen 89

Bestimmung der Energieniveaus 90

Die Normalisierung der Wellenfunktion 91

Berücksichtigung der Zeitabhängigkeit derWellenfunktion 93

Der Übergang zu symmetrischen rechteckigenPotentialtöpfen 94

Begrenztes Potential: Einen Blick auf Teilchen undPotentialstufen 96

Angenommen, das Teilchen hat genügend Energie 97

Angenommen, das Teilchen hat nicht genug Energie 100

Gegen die Wand stoßen: Teilchen und Potentialbarrieren104

Überwinden der Potentialbarriere mit E > V0 105

Überwinden der Potentialbarriere auch mit E < V0107

Die Lösung der Schrödinger–Gleichung fürungebundene Teilchen 111

Ein physikalisches Teilchen mit einem Wellenpaket beschreiben112

Ein Gauss sches Beispiel 113

Das Wichtigste von Kapitel 4 noch einmal in Kürze 115

Kapitel 5
Hin und her mit harmonischen Oszillatoren 117

Die Schrödinger–Gleichung für den harmonischenOszillator 117

Der klassische harmonische Oszillator 117

Die Gesamtenergie in der Quanten–Schwingung 118

Algebraische Hilfsmittel 121

Einfluss der Leiteroperatoren auf die Eigenzustände desharmonischen Oszillators 122

Direkte Verwendung von a und a ?n123

Die Energieeigenzustände des harmonischen Oszillatorsbestimmen 124

Berechnung der Eigenfunktionen 124

Darstellung der Wellenfunktion anhand der Hermite schenPolynome 129

Ein paar Zahlen einsetzen 130

Die Operatoren des harmonischen Oszillators als Matrizen 132

Der klassische und der quantenmechanische harmonische Oszillator136

Das Wichtigste von Kapitel 5 noch einmal in Kürze 137

Teil III
Alles dreht sich um Drehimpulse und Spin 139

Kapitel 6
Arbeiten mit dem Drehimpuls auf Quantenniveau 141

Mit dem Drehimpuls im Kreis herum 142

Die Kommutatoren von Lx, Ly und Lz bestimmen 143

Die Eigenzustände des Drehimpulses bestimmen 144

Die Eigenwerte des Drehimpulses bestimmen 146

Zustandsgleichungen mit ?µmax und ?µmin herleiten146

Die Rotationsenergie eines zweiatomigen Moleküls 149

Die Eigenwerte der Erzeugungs– und Vernichtungsoperatorenbestimmen 150

Drehimpuls und Matrix–Darstellung 151

Das Ganze abrunden: Übergang zu Kugelkoordinaten 156

Die Eigenfunktionen von Lz in Kugelkoordinaten 158

Die Eigenfunktionen von L2 in Kugelkoordinaten 160

Das wichtigste von Kapitel 6 noch einmal in Kürze 164

Kapitel 7
Mit Spin schwindlig werden 167

Der Stern–Gerlach–Versuch und der fehlende Strahl 167

Der Spin und die Eigenzustände 169

Halbe und Ganze: Fermionen und Bosonen 169

Spinoperatoren: Bewegungen mit Drehimpuls 170

Spin ½–Teilchen und Pauli–Matrizen 171

Spin ½–Matrizen 172

Pauli–Spinmatritzen 173

Das wichtigste von Kapitel 7 noch einmal in Kürze 174

Teil IV
Die Quantenphysik wird dreidimensional 175

Kapitel 8
Rechtwinklige Koordinaten: Lösen von Problemen in dreiDimensionen 177

Die Schrödinger–Gleichung: Jetzt in 3D–Qualität!178

Freie Teilchen imDreidimensionalen 180

Die Gleichungen für x, y undz 181

Bestimmung der Gesamtenergie 182

Zeitabhängigkeit führt zu einer physikalischenLösung 182

Dreidimensionale rechtwinklige Potentiale 184

Die Energieniveaus bestimmen 186

Die Wellenfunktion normalisieren 187

Würfelförmiges Potential 189

Der dreidimensionale harmonische Oszillator 190

Das wichtigste von Kapitel 8 noch einmal in Kürze 192

Kapitel 9
Probleme in drei Dimensionen: Kugelkoordinaten 195

Zentralpotentiale im Dreidimensionalen 195

Die Schrödinger–Gleichung zerlegen 196

Der winkelabhängige Teil von y(r, q, f) 197

Der radiale Teil von y(r, q, f) 198

Freie Teilchen imDreidimensionalen in Kugelkoordinaten 199

Die sphärischen Bessel– und Neumann–Funktionen 200

Näherungen für große und kleine ?Ä?n201

Das sphärisch symmetrische Kastenpotential 202

Innerhalb des Potentialtopfes: 0 < r < a 202

Außerhalb des Potentialtopfes: r >a 204

Der isotrope harmonische Oszillator 204

Das wichtigste von Kapitel 9 noch einmal in Kürze 207

Kapitel 10
Wasserstoffatome verstehen 209

Die Schrödinger–Gleichung für das Wasserstoffatom210

Vereinfachung und Aufspaltung der Schrödinger–Gleichungfür Wasserstoff 212

Die Lösung für y(R) 214

Die Lösung für y(r) 214

Lösung der radialen Schrödinger–Gleichung fürkleiner 215

Lösung der radialen Schrödinger–Gleichung fürgroßer 215

Zusammenfügen der Lösungen für dieRadialgleichung 216

Die Funktion f(r) endlich machen 218

Bestimmung der erlaubten Energien des Wasserstoffatoms 219

Die Lösung der radialen Schrödinger–Gleichung 220

Wellenfunktionen des Wasserstoffs 223

Die Energieentartung beimWasserstoffatom 225

Quantenzustände mit Spin 226

Linien führen zu Orbitalen 228

Das Elektron ist schwer zu fassen 229

Das wichtigste von Kapitel 10 noch einmal in Kürze 231

Teil V
Gruppendynamik mit vielen Teilchen 235

Kapitel 11
Viele identische Teilchen 237

Viel–Teilchen–Systeme im Allgemeinen 238

Wellenfunktionen und Hamilton–Operatoren 238

Nobelpreiswürdig: Nachdenken überViel–Elektronen–Atome 239

Ein hilfreiches Werkzeug: Austauschsymmetrie 240

Die Ordnung zählt: Teilchen mit dem Austauschoperatorvertauschen 240

Einteilung in symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen242

Systeme mit vielen unterscheidbaren Teilchen 244

Mit vielen identischen Teilchen jonglieren 246

Die Identität verlieren 246

Symmetrie und Antisymmetrie 248

Austausch–Entartung: Der gleichbleibende Hamilton–Operator248

Zusammengesetzte Teilchen und ihre Symmetrie 249

Symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen 250

Identische nicht wechselwirkende Teilchen 251

Wellenfunktionen in Zwei–Teilchen–Systemen 251

Wellenfunktionen für Drei–Teilchen–oder–mehr–Systeme253

Nicht für Alle ist Platz: Das Pauli–Prinzip 253

Das Periodensystem der Elemente 254

Das Wichtigste von Kapitel 11 noch einmal in Kürze 255

Kapitel 12
Systemen einen Stoß versetzen: Störungstheorie257

Die zeitunabhängige Störungstheorie 257

Störungstheorie für nicht entarteteAusgangszustände 258

Eine kleine Entwicklung: Störung der Gleichungen 258

Anpassen der Koeffizienten von ?¾?nund Vereinfachung259

Die Korrekturen erster Ordnung bestimmen 260

Die Korrekturen zweiter Ordnung 261

Die Störungstheorie im Test: Harmonische Oszillatoren inelektrischen Feldern 263

Exakte Lösungen berechnen 264

Störungstheorie anwenden 265

Störungstheorie für entartete Hamilton–Operatoren268

Test der entarteten Störungstheorie: Wasserstoff inelektrischen Feldern 270

Das Wichtigste von Kapitel 12 noch einmal in Kürze 272

Kapitel 13
Peng–Peng: Streutheorie 275

Teilchenstreuung und Wirkungsquerschnitt 275

Wechsel zwischen Schwerpunktsystem und Laborsystem 277

Die Streuung beschreiben 277

Die Streuwinkel umrechnen 278

Die Wirkungsquerschnitte umrechnen 280

Teilchen gleicher Masse im Laborsystem 281

Die Streuamplitude von spinlosen Teilchen 282

Die Wellenfunktion des einfallenden Teilchens 283

Die Wellenfunktion des gestreuten Teilchens 283

Der Zusammenhang zwischen Streuamplitude und differentiellem

Wirkungsquerschnitt 284

Bestimmung der Streuamplitude 285

Die Born sche Näherung: Die Rettung derWellengleichung 286

Die Wellenfunktion bei großen Abständen 287

Anwendung der ersten Born schen Näherung 288

Mit der Born schen Näherung rechnen 289

Das Wichtigste von Kapitel 13 noch einmal in Kürze 290

Teil VI
Der Top–Ten–Teil 293

Kapitel 14
Zehn Webseiten zur Quantenphysik 295

Elektronen und Photonen aus Ulm 295

Quanten.de–Portal 295

Joachims Quantenwelt 295

Visual Quantum Mechanics 296

HydrogenLab 296

MILQ 296

Multimediaphysik 296

Quantum Mechanics Tutorial 296

An Introduction to Quantum Mechanics 297

HyperPhysics 297

Kapitel 15
Zehn Highlights der Quantenphysik 299

Welle–Teilchen–Dualismus 299

Der photoelektrische Effekt 299

Entdeckung des Spins 300

Unterschiede zwischen den Newton schen Gesetzen und derQuantenphysik 300

Die Heisenberg sche Unschärferelation 300

Der Tunneleffekt 300

Diskrete Atomspektren 301

Der harmonische Oszillator 301

Potentialtöpfe 301

Schrödingers Katze 302

Glossar 303

Stichwortverzeichnis 309

Steven Holzner lehrt seit über zehn Jahren Physik ander Cornell Universität. Er unterrichtete auch amMassachusetts Institute of Technology (MIT) und hat über 95Bücher geschrieben. Überarbeitet wurde das Buch von Dr.Regine Freudenstein und Dr. Wilhelm Kulisch, beide sind erfahrene... für Dummies–Autoren und –Übersetzer.